Miễn phí

Định dạng file: .DOC

NỘI DUNG CHÍNH

1. Hai đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa: Hai đường thẳng trong không gian gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng, tức là không nằm trên cùng một mặt phẳng.
Tính chất:
- Hai đường thẳng chéo nhau luôn không song song và không cắt nhau.
- Ví dụ: Trong hình hộp chữ nhật, cạnh $A B$ và cạnh $C D^{'}$ là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Hai đường thẳng song song

Định nghĩa: Hai đường thẳng trong không gian gọi là song song nếu:
- Chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung (song song thật sự).
- Hoặc chúng trùng nhau (song song trùng).
Kí hiệu: $\parallel b$ .
Các tính chất:
1. Nếu đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ và $b$ song song với đường thẳng $c$ , thì $\parallel c$ .
2. Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(α)(\alpha)$ , thì mọi đường thẳng nằm trong $(α)(\alpha)$ và song song với $a$ .
3. Nếu hai mặt phẳng song song, thì các giao tuyến của chúng với một mặt phẳng thứ ba cũng song song.

3. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu để nhận biết hai đường thẳng song song:
- Nếu chúng cùng song song với một đường thẳng thứ ba, thì chúng song song với nhau.
- Nếu chúng là các cạnh đối của một hình bình hành, thì chúng song song.
Dấu hiệu để nhận biết hai đường thẳng chéo nhau:
- Nếu không cùng nằm trên một mặt phẳng nào và cũng không song song, thì chúng chéo nhau.

Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với $a$ và $b$ :

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả $a$ và $b,$ khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

$a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $M$ , ta kí hiệu $a \cap b = M .$
$a$ và $b$ song song với nhau, ta kí hiệu $a / / b$ .
$a$ và $b$ trùng nhau, ta kí hiệu $a \equiv b$ .

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả $a$ và $b$ , khi đó ta nói $a$ và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Các định lí và tính chất

Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng $a$ có một và chỉ một đường thẳng song song với $a$ .
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

3. Bài toán Tìm giao tuyến của hai mặt bằng quan hệ song song

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d^{'}$ thì giao tuyến của $(α)$ và $(β)$ là đường thẳng đi qua $M$ song song với $d$ và $d^{'}$ .

Ví dụ:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang với các cạnh đáy là $A B$ và $C D$ . Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A D$ và $B C$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $S A B$ .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(I J G)$ .

b) Tìm điều kiện của $A B$ và $C D$ để thiết diện của $(I J G)$ và hình chóp là một hình bình hành.

Hướng dẫn:

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song 2

a) Ta có $A B C D$ là hình thang và $I, J$ là trung điểm của $A D, B C$ nên $I J / / A B$ .

Vậy ${\begin{cases} G \in (S A B) \cap (I J G) \\ A B \subset (S A B) \\ I J \subset (I J G) \\ A / / I J \end{cases}$

$\Rightarrow (S A B) \cap (I J G) = M N / / I J / / A B$ với

$M \in S A, N \in S B$ .

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác $M N J I$ .

Do $G$ là trọng tâm tam giác $S A B$ và

$M / / A B$ nên $\frac{M N}{A B} = \frac{S G}{S E} = \frac{2}{3}$

( $E$ là trung điểm của $A B$ ).

$\Rightarrow M N = \frac{2}{3} A B$ .

Lại có $I J = \frac{1}{2} (A B + C D)$ . Vì $M N / / I J$ nên $M N I J$ là hình thang, do đó $M N I J$ là hình bình hành khi $M N = I J$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} A B = \frac{1}{2} (A B + C D) \Leftrightarrow A B = 3 C D$ .

Vậy thiết diện là hình bình hành khi $A B = 3 C D$ .

4. Bài toán Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Ví dụ:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là một hình thang với đáy lớn $A B$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $S A$ và $S B$ .

a) Chứng minh MN // CD.

b) Gọi $P$ là giao điểm của $S C$ và $(A D N)$ , $I$ là giao điểm của $A N$ và $D P$ . Chứng minh SI // CD.

Hướng dẫn:

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song 3

a) Ta có $M N$ là đường trung bình của tam giác $S A B$ nên $M N / / A B$ .

Lại có $A B C D$ là hình thang $\Rightarrow A B / / C D$ .

Vậy ${\begin{cases} M N / / A B \\ C D / / A B \end{cases} \Rightarrow M N / / C D$ .

b) Trong $(A B C D)$ gọi $E = A D \cap B C$ , trong $(S C D)$ gọi $P = S C \cap E N$ .

Ta có $E \in A D \subset (A D N)$ $\Rightarrow E N \subset (A N D) \Rightarrow P \in (A D N)$ .

Vậy $P = S C \cap (A D N)$ .

Do $I = A N \cap D P \Rightarrow {\begin{cases} I \in A N \\ I \in D P \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} I \in (S A B) \\ I \in (S C D) \end{cases} \Rightarrow S I = (S A B) \cap (S C D)$ .

Ta có ${\begin{cases} A B \subset (S A B) \\ C D \subset (S C D) \\ A B / / C D \\ (S A B) \cap (S C D) = S I \end{cases} \Rightarrow S I / / C D$ .

5. Bài toán Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng $a, b$ lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh $a, b$ song song hoặc cắt nhau, khi đó $A, B, C, D$ thuộc $m p (a, b)$ .

Để chứng minh ba đường thẳng $a, b, c$ đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh $a, b, c$ lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng $(α), (β), (δ)$ trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được $a, b, c$ đồng qui.

Ví dụ 1:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là một tứ giác lồi. Gọi $M, N, E, F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $S A, S B, S C$ và $S D$ .

a) Chứng minh $M E, N F, S O$ đồng quy.

b) Chứng minh $M, N, E, F$ đồng phẳng.

Hướng dẫn:

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song 4

a) Trong $(S A C)$ gọi $I = M E \cap S O$ , dễ thấy $I$ là trung điểm của $S O$ , suy ra $F I$ là đường trung bình của tam giác $S O D$ .

Vậy $F I / / O D$ .

Tương tự ta có $N I / / O B$ nên $N, I, F$ thẳng hàng hay $I \in N F$ .

Vậy $M E, N F, S O$ đồng qui.

b) Do $M E \cap N F = I$ nên $M E$ và $N F$ xác định một mặt phẳng.

Suy ra $M, N, E, F$ đồng phẳng.

6. Bài tập Ôn tập

Bài 1:

Cho hình chóp $S . A B C$ . Gọi $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $S B C$ và $S A B$ .

a) Chứng minh $G_{1} G_{2} / / A C$ .

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(B G_{1} G_{2})$ và $(A B C)$ .

Hướng dẫn:

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song 5

a) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C$ .

Do $G_{1}, G_{2}$ là trọng tâm các tam giác $S B C$ và $S A B$ nên $\frac{S G_{1}}{S N} = \frac{2}{3}, \frac{S G_{2}}{S M} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{S G_{1}}{S N} = \frac{S G_{2}}{S M}$

$\Rightarrow G_{1} G_{2} / / M N$ .

Mặt khác $M N / / A C \Rightarrow G_{1} G_{2} / / A C$ .

b) Ta có ${\begin{cases} B \in (B G_{1} G_{2}) \\ G_{1} G_{2} \subset (B G_{1} G_{2}) \\ A C \subset (A B C D) \\ G_{1} G_{2} / / A C \end{cases}$

$\Rightarrow (B G_{1} G_{2}) \cap (A B C D) = d / / A C / / G_{1} G_{2} .$

Bài 2:

Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh $a$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $C D$ và $A B$ .

a) Hãy xác định các điểm $I \in A C$ và $J \in D N$ sao cho $I J / / B M$ .

b) Tính $I J$ theo $a$ .

Hướng dẫn:

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song 6

a) Trong $(B C D)$ , từ $D$ kẻ đường thẳng song song với $B M$ cắt $B C$ tại $K$ . Nối $K$ và $N$ cắt $A C$ tại $I$ . Trong $(I K D)$ , từ $I$ kẻ đường thẳng song song với $D K$ cắt $D N$ tại $J$ .

Khi đó $I J / / B M$ .

b) Do $B M$ là đường trung bình của tam giác $C K D$ nên $K D = 2 B M = 2. \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Gọi $H$ là trung điểm của $B C$ . Khi đó

$H N / / A C \Rightarrow \frac{N K}{N I} = \frac{K H}{H C} = \frac{3 H C}{H C} = 3$

$\Rightarrow N K = 3 N I \Rightarrow K D = 3 I J$

$\Rightarrow I J = \frac{1}{3} K D = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Bài 3:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang.Một mặt phẳng $(α)$ cắt các cạnh $S A, S B, S C$ và $S D$ lần lượt tại các điểm $M, N, P, Q$ .

a) Giả sử $M N \cap P Q = I$ , $A B \cap C D = E$ . Chứng minh $I, E, S$ thẳng hàng.

b) Giả sử $Δ = (I B C) \cap (I A D)$ và $Δ \subset (α)$ .

Chứng minh $M Q / / N P / / A B / / C D$ .

Hướng dẫn:

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song 7

a) Ta có $S E = (S A B) \cap (S C D)$

$I = M N \cap P Q \Rightarrow {\begin{cases} I \in M N \subset (S A B) \\ I \in P Q \subset (S C D) \end{cases}$

$\Rightarrow I \in (S A B) \cap (S C D)$ , hay $I \in S E$ .

b) Do ${\begin{cases} I \in (I A D) \cap (I B C) \\ A D / / B C \\ A D \subset (I A D) \\ B C \subset (I B C) \end{cases}$

$\Rightarrow (I A D) \cap (I B C) = Δ / / A B / / D C, I \in Δ$ Mặt khác theo giả thiết $Δ \subset (α)$ nên

${\begin{cases} Δ \subset (α) \\ B C \subset (S B C) \\ Δ / / B C \\ (α) \cap (S B C) = N P \end{cases} \Rightarrow N P / / B C / / Δ$

Tương tự ta cũng có $M Q / / A D / / Δ$ .

Vậy $M Q / / N P / / B C / / A D / / Δ$ .